ጥላ ብዜት

ጥላ ብዜት በሌላ ስሙ የዶት ብዜት ወይም የነጥብ ብዜት፡ በሂሳብ ጥናት፣ ሁለት እኩል አባል ያላቸውን የቁጥር ድርድሮች በመውሰድ፣ የአንዱን ድርድር በሌላው ድርድር አንድ ባንድ በማባዛትና የኒህን ውጤቶች ድምር የምናገኝበት ስሌት ነው። ይህ ስሌት በተለይ ለጨረሮች እጅግ ጠቃሚ ነው።

ለምሳሌ ሁለት የቁጥር ድርድሮች a = [a₁, a₂, ... , a_n] እና b = [b₁, b₂, ... , b_n] ቢሴጡን፣ የዶት ብዜታቸው እንዲህ ይገኛል፡

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

Σ እዚህ ላይ የመደመሪያ ምልክት ሲሆን n ደግሞ የጨረሩ(ቬክተሩ) ቅጥ ነው።

ሁለት ባለ ሁለት ቅጥ የቁጥር ድርድሮች [a,b] እና [c,d] ቢሰጡ፣ የዶት ብዜታቸው ይሄ ነው፡ ac + bd. ሁለት ባለ ሦሥት ቅጥ የቁጥር ድርድሮች [a,b,c] እና [d,e,f] ቢሰጡ፡ የዶት ብዜታቸው ad + be + cf.

ይህን በቁጥር ለማየት፣ ለምሳሌ የሚከተሉት ባለ ሦሥት ቅጥ የቁጥር ድርድሮች [1, 3, −5] እና [4, −2, −1] ይሰጡ፡ የዶት ብዜታቸው እንዲህ ይሰላል

$[1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]=1\times 4+3\times (-2)+(-5)\times (-1)=4-6+5=3.$

የጂዖሜትሪ ትርጓሜው

A_B = |A| cos(θ) እዚህ ላይ የ B ላይ ያረፈው የ A ጥላ መጠን በB ሲባዛ ማለት ነው፣ በ
A • B = |A| |B| cos(θ) ስለሆነ A_B = (A • B) / |B|.

• ቬክተር a ቢሰጠን፣ የራሱ ጥላ ብዜት (ዶት ብዜት) a · a የቬክተር a ርዝመት ስኩየር ነው

${\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}=|\mathbf {a} |^{2}$

||a|| (በሌላ አጻጻፍ |a|) የ a ርዝመት ወይም መጠን ነው።

• ቬክተር b ቢሰጥና ከቬክተር a ጥላ ጋር ቢባዛ፣ ከላይ እንዳየነው የቬክተሩን ውስጣዊ ድርድር ቁጥሮች በማብዛትና በመደመር ጥላ ብዜቱን ማግኘት ይቻላል። ሆኖም ከዚህ ዘዴ ጋር እኩል ተነጻጻሪ የሆነ ሌላ መንገድ አለ እርሱም፡

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta \,$

እዚህ ላይ ||a|| እና ||b|| የሚወክሉት የa ና b ን ርዝመት ሲሆን θ ደግሞ በሁለቱ ቬክተሮች መካከል ያለውን ማዕዘን መጠን ነው።

• ከላይ የተጠቀሰውን ቀመር በመጠቀም ከቬክተሮቹ ርዝመትና ጥላ ብዜት ተነስተን በመካከላቸው ያለውን ማዕዘን መጠን ማወቅ ይቻላል

$\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\right)$

ለምሳሌ ሁለት ቬክተሮች a = <1,2> እና b = <3,5> ቢሰጡን፣ በሁለቱ ቬክተሮች መካከል ያለውን ማዕዘን ለማወቅ ቢፈለግ እንዲህ ይሰላል

$\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\right)=\arccos({\frac {<1,2>\cdot \ <3,5>}{{\sqrt {(<1,2>.<1,2>)}}{\sqrt {(<3,5>.<3,5>)}}}})$

የዶት ብዜት ጸባዮች

የዶት ብዜት ተገልባጭ ነው:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .$

የዶት ብዜት ታዳይ ነው:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .$

የዶት ብዜት ባይሊኒያር ነው:

$\mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).$

የዶት ብዜት በስኬላር ሲባዛ የሚከተለውን ጸባይ ያሳያል:

$(c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=(c_{1}c_{2})(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

ሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች a እና b እርስ በርስ ቀጤ ነክ የሚሆኑት የዶት ብዜታቸው a • b = 0 ከሆነና ከሆነ ብቻ ነው።

ዶት ብዜት በተፈጥሮ ህግጋት ጥናት

• ስራ

በተፈጥሮ ህግጋት ጥናት የጉልበትና የአቀማመጥ ቬክተር ዶት ብዜት ውጤት ነው።

• የማግኔት ፍለክስ የማግኔት መስክና የስፋት ቬክተሮች ዶት ብዜት ነው።