ዕድል ጥናት

የዕድል ጥናት የአንድን ወይም ከዚያ በላይ ኩነት እውን የመሆን ዕድል (መጠነ አዝማሚያ) የሚያጠና የሒሳብ ክፍል ነው። ለምሳሌ ሳንቲም በአየር ላይ ተወርውሮ መሬት ላይ ሲያርፍ "ፊት" ወይም "ግልባጭ" የመሆን ኩነት ያጋጥማል። ፊት የመሆን አዝማሚያውን የምንለካው በዕድል ጥናት ሲሆን በአጠቃላይ ሁለት ኩነቶች ስላሉ፣ ከሁለቱ አንዱ የመሆን ዕድሉ 1/2ኛ ወይም 0.5 ነው እንላለን።

በአጠቃላይ መልኩ "እድል ጥናት" ማለት የአንድን ወይም ከዚያ በላይ ኩነት የመሆን አዝማሚያ እምነት ወይም እውቀት የምንገልጽበት መንገድ ነው። በአሁኑ ዘመን ዕድል ጥናት ሁለት አይነት አንድምታ ይይዛል፤

፩ - ከድግግሞሽ አጥኒወች አንጻር፡ ዕድል ማለት አንድ ዘፈቀደ ሙከራ ተካሂዶ፣ ያ ሙከራ ሲደጋገም የአንድ ክስተት (ኩነት) በኒህ ሙከራወች ውስጥ የመደጋገም መጠን ማለት ነው። በድግግሞሽ አጥኒወች ዘንድ፣ እድል ማለት፣ ከብዙ ሙከራወች በኋላ አንድ ኩነት የሚያሳያው አንጻራዊ ድግግሞሽ መጠን ማለት ነው። ለምሳሌ ሳንቲምን ወደ ላይ በማጉናት ሙከራ ብናደርግና ይህን ሙከራ 1 ቢሊየን ጊዜ ብንደጋግመው፣ "ፊት" የማግኘቱ ድግግሞሽ ስንት ጊዜ ነው? በተመክሮ ይህ ቁጥር 500 ሚሊየን ጊዜ ቢሆን የዚህ ክስትተት አንጻራዊ መጠን እንግዲህ 500 ሚሊየን ሲካፈል ለ 1 ቢሊየን - ምለት 0.5 ነው ማለት ነው።

፪- ከባዬዢያኖች አንጻር፣ ዕድል ማለት የአንድ ግለሰብ በአንድ ዓረፍተ ነገር ላይ ያለውን እምነት መጠን የሚለካ ነው። ወይም በሌላ አባባል፣ ማስረጃ በቀረበለት ዓረፍተ ነገር ላይ አንድ ግለሰብ ያለው ቀልበኛ ዕምነት መጠን ማለት ነው።

ሒሳብና ዕድል ጥናት

በሒሳብ ጥናት የማናቸውም ኩነት A ዕድል መጠን በ 0 ና 1 መካከል ሲሆን፣ የዚያ ኩነት ዕድል እንዲህ ሲባል በሂሳብ ይወከላል P(A), p(A) or Pr(A) ። እንግዲህ አንድ ኩነት በጭራሽ ዕውን የማይሆን ሆኖ ሲገኝ ዕድሉ 0 ይሆናል ማለት ነው ፣ በርግጥም ያለምንም ጥርጥር ሆኖ ሲገኝ ደግሞ ዕድሉ 1 ነው እንላለን ማለት ነው። (የዚህ ተገላቢጦሽ ግን ሁል ጊዜ እውነት አይደለም። ለምሳሌ 0 እድል ያለው ኩነት ሁልጊዜ የማይሆን አይደለም። ዕድሉ 1 የሆነም ኩነት ሁልጊዜ የሚሆን አይደለም።)

የአንድ ኩነት A ተቃራኒ ኩነት not A (አይደለም A) ይባላል (ማለት ኩነት A የማይፈጠርበት ሁኔታ ማለት ነው); የዚህ ኩነት ዕድል በዚህ መልኩ ይጻፋል P(not A) = 1 - P(A)

ሁለት ኩነቶች A እና B በአንድ ሙከራ ከተፈጠሩ እድላቸው የ A እና B የጋራ እድል ይባላል , በሂሳብ ሲጻፍም $P(A\cap B)$። ሁለት ኩነቶች እርስ በርስ የተነጣጠሉ ከሆነ እድላቸው ሲሰላ እንዲህ ነው

$P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B),\,$

ለምሳሌ፣ ሁለት ሳንቲሞች ቢጎኑ ፣ ሁለቱም ሳንቲሞች አንድ ላይ "ገጽ" የመሆናቸው እድል እንዲህ ይሰላል ${\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.$ ለዚህ ምክንያቱ የአንዱ ገጽ መሆን የሌላውን ገጽ መሆን ተጽኖ አያደርግም። ሁለቱ የተነጣጠሉ ኩነቶች ናቸው። ያልተነጣጠሉና አንዱ ሌላው ላይ ጫና የሚያሳርፍ ከሆነ የሁለቱ ባንድ ላይ መከሰት የሚሰላው በምክንያታዊ እድል ነው። ከታች እናየዋለን።

ወይም ኩነት A ፣ ወይም ደግሞ ኩነት B ወይም ሁለቱም በአንድ ሙከራ ላይ የሚፈጠሩ ከሆነ ያ ሁኔታ የ ኩነት A ወይም B ውህድ ይባላ፣ በሂሳብ ሲጻፍም $P(A\cup B)$ ነው። ሁለት ኩነቶች አንዱ ሲፈጠር ሌላው እንዳይፈጠር የሚደራረጉ ከሆኑ (እርስ በርስ አግላይ)፣ የሁለቱ ቅይጥ ዕድል እንዲህ ይሰላል።

$P(A{\mbox{ or }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

ለምሳሌ፡ አንድ ዳይስ ወርውረን 1 ወይም 2 የማግኘት እድላችን ሲሰላ $P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.$ ነው። ምክንያቱን 1ንና 2ን አንድ ላይ አናገኝምና።

ሁለት ኩነቶች እርስ በርስ አግላይ ካልሆኑ፣ የቅይጥ ዕድላቸው መጠን እንዲህ ይሰላል

$\mathrm {P} \left(A{\hbox{ or }}B\right)=\mathrm {P} \left(A\right)+\mathrm {P} \left(B\right)-\mathrm {P} \left(A{\mbox{ and }}B\right).$

ለምሳሌ፡ ከአንድ የካርታ ዴክ ላይ ልብ ወይም ፊት የተሳለባቸው ካርታወች (J,Q,K) ወይም ሁለቱንም የሆነ ካርታ የማግኘት እድላችን እንዲህ ሲል ይሰላል ${\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}}$, ለዚህ ምክንያቱ አንድ ካርታ ዴክ 52 ካርታወችን ሲይዝ ከነዚህ ውስጥ 13 ልብ፣ 12 ደግሞ የፊት ካርታወች፣ 3ቱ ደግሞ ሁለቱን የሆኑ ናቸው። እዚህ ላይ መስተዋል ያለበት ሁለቱንም የሆኑት 3ቱ፣ ከ "13 ቱ ልቦችና " ከ "12ቱ የፊት ካርታዎች" ጋር ሁለት ጊዜ ስለተቆጠሩና አንድ ጊዜ ብቻ መቆጠር ስላለባቸው አንድ ጊዜ ተቀንሰዋል።

ምክንያታዊ ዕድል የምንለው አንድ ኩነት B. ከተፈጠረ በኋላ ሌላ ኩነት A የመፈጠር እድል መጠንን ነው። ይህ በሂሳብ ሲጻፍ P(A|B), ሲነበብም " B ከሆነ በኋላ A የመሆን እድሉ"። በሒሳብ ሲተረጎም እንግዲህ

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.\,$

የዕድሎች ማጠቃለያ

ኩነት	ዕድል
A	$P(A)\in [0,1]\,$
አይደለም A	$P(A')=1-P(A)\,$
A ወይም B	${\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{*}}\\\end{aligned}}$
A ና B	${\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)\\&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{**}}\\\end{aligned}}$
B ከተከሰተ በኋላ A የመሆን እድሉ	$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\,$

*ለእርስ በርስ ተጋላይ (አግላይ) ኩነቶች

** ለተነጣጣይ ኩነቶች