ላፕላስ ሽግግር

በሒሳብ ጥናት ውስጥ በከፍተኛ ደረጃ ስራ ላይ የሚውል የመደመራዊ ሽግግር ቢኖር ይሄው ላፕላስ ሽግግር (Laplace Transform) የሚባለው ነው። ይህ ሽግግር በፊዚክስ፣ሒሳብ፣ በምህንድስናና በእድል ጥናት የዕውቀት ዘርፎች በከፍተኛ ስራ ላይ ይውላል። ሎጋሪዝም ማባዛትን ወደ መደመር እንደሚቀይርና ማባዛትን እንደሚያቃልል ሁሉ የላፕላስት ትራንስፎርም የካልኩለስን ሥነ ለውጥና ሥነ ማጎር ወደ ማባዛትና ማካፈል በማሻገር የካልኩለስን ተግባር ያቃልላል።

የላፕላስ ሽግግር ከፎሪየር ሽግግር ጋር ተዛማጅ ቢሆንም ቅሉ የፎሪየር ሽግግር ፈንክሽኖችን ወይም መልእክትን ወደ መስረታዊ የርግብግብ ክፍላቸው ሲበትናቸው የላፕላስ ሽግግር ግን ወደ መሰረታዊ ቅርጻቸው ይበትናቸዋል። ሁለቱም ግን የውድድር እኩልዮሽን (ዲፈረንሺያል ኢኮዥን) ጥያቄወችን ለመፍታት የሚጠቅሙ ሂሳባዊ መሳሪያወች ናቸው። የላፕላስ ሽግግር በፊዚክስና በ ምህንድስና ከፍተኛ ጥቅም ያላቸው ጊዜ-የማይለውጣቸው ቀጥተኛ (ሊኒያር ታይም ኢንቫሪያንት) ሥርዓቶችን ለመፍታት ሲሆን ይህ ጉዳይ የኤሌክትሪክ ምህንድስናን፣ ብርሃናዊ መሳሪያወች ምህንድስናን ሌሎች ተነቀሳቃሽ እቃወችን በቀላሉ ለመተለም ይረዳል። በዚህ የትንታኔ (analysis) ሥርዓት በጊዜ ግዛት ውስጥ ተቀምጠው ያሉ ጥያቄወችን ወደ ድግግሞሽ ግዛት ጣይቄዎች በማሻገር የሚደረገውን የስሌት ሂደት መቀነስ ነው።

$x(t)-->[system]-->y(t)$ ... በጊዜ ውስጥ ያለ ስርዓት ሲሆን

$x(f)-->[system]-->y(f)$.... በድግግሞሽ ግዛት ያለ ሥርዓት

የላፕላስ ሽግግር ምልክት ይሄን ይመስላል $\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$ ። ቀጥተኛ ኦፕሬተር ሲሆን f(t)ን (t ≥ 0) ወደ F(s) (s እንግዲህ ድግግሞሽ ያቅጣጫ ቁጥር ነው ) ይቀይራል።

ታሪክ

የላፕላስ ሽግግር በእውቁ የሒሳብና ከዋክብት ሊቅ ፒየ-ስሞን ላፕላስ ስም የተሰየመ ሲሆን፣ ይሄው አጥኝ የሽግግሩን ግኝት የተጠቀመበት የዕድል ጥናቱን በቀላሉ ለማካሄድ ነበር። ከላፕላስ በፊት እርግጥ ነው ኦይለር የሚከተለውን አይነት ጥረዛ(ኢንቴግራል) አጥንቷል፦

$z=\int X(x)e^{ax}\,dx{\text{ and }}z=\int X(x)x^{A}\,dx,$

ይህንም ያጠናው የአንድ አንድ ውድድር እኩልዮሾችን መፍትሔ ለማግኘት ነበር፤ ነገር ግን ነግሩን ጠለቅ ብሎ የማየት ዝንባሌ አላሳየም። ዮሴፍ ሉዊ ላግራንግ የተሰኘው የፈረንሳይ የሂሳብ ሊቅም በበኩሉ የኦይለር አድናቂ እንደሞሆኑ መጠን የእድል ችፍገትን (probability density) ለማስላት ተመሳሳይ ፎርሙላ ተጠቅሟል፦

$\int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,$

ይህ ስሌት አሁን ካለንበት የላፕላስ ሽግግር ቀመር ጋር ተመሳሳይ ቢሆንም ዳሩ ግን ያሁን እውቀት አካል እንጂ ሙሉ በሙሉ የላፕላስ ሽግግርን እንደማይወክል ስምምነት ላይ ተደርሷል። ላፕላስ በ1782አካባቢ ከላይ የተጠቀሰውን የኦይለርን ቀመር ለለውድድር እኩልዮሽ መፍትሔነት ቢመረምርም ቅሉ በ1785 በጣም ወሳኝ ርምጃ ወስደ። ይሄውም ከላይ የተጻፉትን ሥነ-ጠረዛ እንደ የዲፈረንሻል ጥያቄ ከማየት ይልቅ እራሳቸውን የቻሉ የፈንክሽን አሻጋሪወች መሆናቸውን ተገነዘበ። ለዚህም ስራው እንዲረዳው ይህን የመሰለ የጥረዛ ቀመር መጠቀም ጀመረ፦

$\int x^{s}\phi (s)\,dx,$

አንዳንድ የሂሳብ ታሪክ አጥኘወች ይህን ፈንክሽን የዘመናዊው ላፕላስ ሽግግር ኅልዮት አካል አድርገው ያዩታል።

ተግባሩም አጠቃላይ የውድድር እኩልዮሾችን ከከባድ ወደ ቀላል በማሻገር ምፍትሔያቸውን በተሻገረው ቅርጽ መፈለግ ነበር። ቀጥሎም አሁን የሚታወቀውን የላፕላስ ሽግግር በመመርመር ጥልቅ የሆነ እምቅ ጥቅሙን ለመገንዘብ ቻለ። ላፕላስ የዮሴፍ ፎሪየርን የሙቀት ሥርፀት ጥናትና የፎሪየር ዝርዝር መፍትሔውን ውሱን ኃይል በመተቸት በአዲሱ ቀመሩ ፎርየር ከፈታቸው ጥያቄወች የሰፉ ጥያቄወችን መልስ ለማግኘት ቻለ።

የላፕላስ ሽግግር ደንበኛ ትርጓሜ

ግዛቱ ማናቸውም የውን ቁጥር t ≥ 0፣ የሆነ አስረካቢ f(t) ቢሰጠን፣ የዚህ አስረክቢ የላፕላስ ሽግግር F(s) ትርጓሜ እንዲህ ነው:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

ፓራሜትር s እዚህ ላይ የአቅጣጫ ቁጥር ናት፣ ማለት

$s=\sigma +i\omega ,\,$ σ እና ω የውኑ ቁጥር ናቸው።

የሥነ ጥረዛው (ኢንቴገራሉ) ምንነት እንደ አጠቃቀማችን ይለያያል። ለጥራዙ ህልውና የአስረካቢን ƒ በ[0,∞) መጠረዝ መቻል አስፈላጊ ነው።.

ሁለት ጎን ላፕላስ ሽግግር

ላፕላስ ሽግግር ሲባል አብላጫውን ጊዜ ትርጓሜው አንድ ጎን ላፕላስ ሽግግር ማለት ነው (0 እና ከ0 በላይ) ። ነገር ግን የላፕላስ ሽግግር ሁሎንም የውን ቁጥሮች እንዲያሳትፍ ሆኖ ሊተረጎም ይችላል፣ ማለት የማጎሪያው መነሻና መድረሻ ከነጌቲቭ አዕላፍ እስከ ፖዚቲቭ አዕላፍ ማለት ነው። ሁለት ጎን የላፕላስ ሽግግር እንዲህ ይቀመራል፡

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

የላፕላስ ሽግግር ግልብጥ

የላፕላስ ሽግግር ግልብጥ በእንዲህ መልኩ በአቅጣጫ ቁጥር ሥነ ጥረዛ ይጻፋል፡

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,$

እዚህ ላይ $\gamma$ የውኑ ቁጥር ነው።

የሽግግሩ ሥነ ጥረዛ ውሱን የሚሆንበት አካባቢ

ƒ በየቦታው መጠረዝ የሚችል ከሆነ የƒ ላፕላስ ሽግግር F(s) ውሱን ነው የሚባለው የሚከተለው ጥገት

$\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-ts}\,dt$

ኅልው ሲሆን ነው። እንግዲህ ይህ እንዲሆን ቀላል መፈተኛው ዘዴ

$\int _{0}^{\infty }|f(t)e^{-ts}|\,dt$

ኅልው ከሆነ የዚያ ፈንክሽን ላፕላስ ሽግግር ውሱን ነው፣ ስለሆነም አለ (ኅልው ነው)።

የሽግግሩ ፀባዮችኛ እርጉጦች

የላፕላስ ሽግግር ፀባዮች ሊኒያር የእንቅስቃሴ ስርዓቶችን ተንትኖ ለመረዳት የሚያስችሉ ብዙ ጥሩ ጸባዮች አሉት። በተለይ ዋናው ለዚህ ጉዳይ የሚጠቅመው ፀባዩ ውድድርን ወደ ማባዛት እና ጥረዛን ወደማካፈል በመቀየር ሂሳብን ማቃለሉ ነው። ይህ እንግዲህ ሎጋሪዝም ማባዛትን ወደ ሎጋሪዝም መደመር እና ማካፈልን ወደ ሎጋሪዝም መቀነስ እንደሚቀይረው አይነት ባህርይ ነው። ስለሆነም የላፕላስ ሽግግር የውድድር እኩልዮሽና የጥረዛ እኩልዮሽን ወደ ፖሊኖሚያል እኩልዮሽ በመቀየር ስራን ከማቀላጠፍ በላይ እጅግ ያቃልላል። በዚህ ወቅት በጊዜ t ግዛት ውስጥ የነበሩት እኩልዮሾች ወደ s ግዛት ስለሚሻገሩ፣ የተገኘውን የላፕላስ ሽግግር መፍትሔ ወደ ጊዜ ግዛት እንደገና መቀየር ግድ ይላል። ይሔውም የሚከናወነው በ መገልበጥ ነው።

ሁለት ፈንክሽኖች ፣ f(t) እና g(t), ቢሰጡንና የላፕላስ ተሻጋሪዎቻቸው F(s) እና G(s) ቢሆኑ:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$

$g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}$

ይህን ልብ በማለት፣ የላፕላስ ሽግግር ዋና ዋና ጠባዮች ከታች ይቀርባሉ :

የላፕላስ ሽግግር ጠባዮች

	በጊዜ ግዛት t ያለ ፈንክሽን	በs ግዛት ያለ ፈንክሽን	አስተያየት
ቀጥተኛነት (ሊኒያሪቲ)	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	በሥነ-ማጎር ጸባያት ማረጋገጥ ይቻላል
የድግግሞሽ ለውጥ	$tf(t)\$	$-F'(s)\$	$F'\,$ የ $F\,$ለውጥ ነው
የድግግሞሽ ለውጥ	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	ከላይ ያለው ጠባይ በበለጠ ሲጠቃለል,የ F(s) nኛ ለውጥ
ለውጥ	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	ƒ እዚህ ላይ የሚወዳደር ፈንክሽን ነው። ሥነ ጥረዛ በየክፍሉ በሚባለው መንገድ ይገኛል
ሁለተኛ ለውጥ	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	ƒ እዚህ ላይ ሁለት ጊዜ ተለዋጭ ፈንክሽን ነው። የ $f'(t)\,$ እላይ የተጻፈ ጸባይ በመጠቀም ማግኘት ይቻላል።
አጠቃላይ ለውጥ	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)\$	ƒ እዚህ ላይ n-ጊዜ ተለዋጭ ነው።
የድግግሞሽ ስነ ጥረዛ	${\frac {f(t)}{t}}\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$
ሥነ ጥረዛ	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	$u(t)$ ማለቱ ሒቭሳይድ ደረጃ ፈንክሽንን ያመለክታል። $(u*f)(t)$ የ$u(t)$ እና $f(t)$ ሽብሽብ (ኮንቮሉሽን) ነው።
መለጠጥ	$f(at)\$	${1 \over a}F\left({s \over a}\right)$	እዚህ ላይ $a$ ፖዚቲቭ ነው
የድግግሞሽ መንሸራተት	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
የጊዜ መንሸራተት	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	$u(t)$ የ ሒቭሳይድ ደረጃ ፈንክሽን ነው
ማባዛት	$f(t)g(t)\$	${\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \$	F ውስን በሆነበት አካባቢ ብቻ እና በቋሚ መስመሩ $Re(\sigma )=c$ የጋራ ቦታ ላይ ሥነ ማጎሩ ይካሄዳል
ሽብሽብ	$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$	ƒ(t) እና g(t) በt < 0 ዋጋቸው ዜሮ እንደሆነ ተደርጎ ይሰራበታል
ተደጋጋሚ ፈንክሽን	$f(t)\$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	$f(t)$ ተደጋጋሚ ፈንክሽን ሲሆን ድጋሜው $T$ ሆኖ ሲያበቃ $f(t)=f(t+T),\;\forall t\geq 0$። ለዚህ ውጤት ምክንያቱ የጊዜ መንሸራተትና የጂዎሜትሪክ ዝርዝር ናቸው።

• የመጀመሪያ ዋጋ እርጉጥ:

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.$

• የመጨረሻ ዋጋ እርጉጥ:

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$, ማናቸውም ዋልታወች (የ $sF(s)$ ) በቁጥር ጠለል ግራ ጎን ላይ ከተገኙ ።

በጊዜ ውስጥ ያለ የኤሌክትሪክ ኡደት የs-ግዛት ተመጣጣኙና እግዶሹ

የላፕላስ ሽግግር ብዙውን ጊዜ በኤሌክትሪክ ኡደት (ሰርኪዩት) ትንታኔ ላይ ተጠቃሚነትን ያገኛል። አብዛኛውን ጊዜ የተሰጠን ዑደት ወደ s-ግዛት ተመጣጣኙ ማሻገር ቀላል ነው። የዑደቱ አባላት በቀላሉ ወደ ተመጣጣኝ ተቃውሞአቸው (ኢምፔዳንስ) ይቀየራል፣ ይኼውም ፌዘር እንደሚገኝበት ስሌት ነው እንጅ ልዩ አይደለም። የሚከተለው ምስል ይህን ተግባር ባጭሩ ያሳያል (እንግሊዝኛ)፦

እዚህ ላይ እንቅፋት(ሬዚዝስተር) በጊዜም ሆነ በኤስ-ግዛት አንድ አይነት ዋጋ አለው። የኤሌክትሪክ ምንጮች በዚህ ትንታኔ ውስጥ እንዳይወጡ የሚሆኑት ትንታኔ በሚጀመርበት ወቅት ዋጋ ካላቸው ነው። ለምሳሌ አቃቤው (ካፓሲተሩ) ሲጀመር ቮልቴጅ ካለው ፣ ወይንም የኤሌክትሪክ እልከኛው (ኢንደክተሩ) በውስጡ የኤሌክትሪክ ጅረት ካለው፣ በ s-ግዛት ሆነው ያሉት ምንጮች በተሻጋሪው ዑደት ውስጥ መግባት ግድ ይላል።